Question

已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
（1）如图1，若点P在边BC上，证明：h₁+h₂=h．
（2）如图2，当点P在△ABC内时，猜想h₁、h₂、h₃和h有什么关系？并证明你的结论．
（3）如图3，当点P在△ABC外时，h₁、h₂、h₃和h有什么关系？（不需要证明）

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：

分析：（1）把点P与A点连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
（2）把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
（3）把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．

解答：解：（1）如图1，连接AP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

（2）h=h₁+h₂+h₃ ，理由如下：
如图2，连接AP、BP、CP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PE
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂+

1

2

BC•h₃
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．

（3）h=h₁+h₂-h₃．
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．

点评：此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．