Question

18．下列说法：
（1）b=a+c时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）一定有实数根；
（2）b²-5ac＞0时，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
（3）若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx²+bx+a=0也一定有两个不相等的实数根；
（4）关于x的方程（a²-8a+20）x²+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
其中正确的有①②④．

Answer 1

分析 由于b=a+c，△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，根据判别式的意义可对（1）进行判断；
由于b²-5ac＞0时，△=b²-4ac＞ac，所以不管a、c异号与同号，都有△＞0，根据判别式的意义可对（2）进行判断；
方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，c可能为0，根据一元二次方程的定义可对（3）进行判断；
由于a²-8a+20=（a-4）²+4＞0，根据一元二次方程的定义可对（4）进行判断．

解答 解：（1）当b=a+c时，△=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，则方程ax²+bx+c=0一定有实数根，所以①正确；
（2）若b²-5ac＞0时，△=b²-4ac＞ac，所以不管a、c异号与同号，△＞0，则方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等实数根，所以②正确；
（3）方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，若c=0，则方程cx²+bx+a=0没有两个不相等实数根，所以③错误；
（4）a²-8a+20=（a-4）²+4＞0，则无论a取何值，关于x的方程（a²-8a+20）x²+2ax+1=0都是一元二次方程，所以④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．