Question

20．如图，AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，且BC=AD，下列结论中：①△BCD是等腰三角形；②BD平分∠ABC；③∠C=72°；④图中共有3个等腰三角形，其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

解答 解：∵MN是AB的中垂线，
∴DA=DB，
∵BC=AD，
∴BC=BD，即△BCD是等腰三角形，①正确；
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=∠DAB+∠DBA，
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠DAB，
∴∠C=2∠DBA，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠DBA，即BD平分∠ABC，②正确；
设∠A=x，则∠ABC=∠C=2x，
则x+2x+2x=180°，
解得，x=36°，
∴∠C=2x=72°，③正确；
AB=AC、DA=DB，BC=BD，
∴图中共有3个等腰三角形，④正确，
故选：A．

点评 本题考查的是等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．