Question

9．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF，AF与BE交于G，CE与DF交于H．求证：四边形EGFH是平行四边形．

Answer 1

分析 先证明四边形AFCE是平行四边形，得AF∥EC，再证明四边形EBFD是平行四边形，得∠EBF=∠EDF，易证明△BGF≌△HED，则GF=EH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AE∥FC，
∵AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥EC，
∵AD=BC，AE=FC，
∴ED=BF，
∵ED∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF，
∵AF∥EC，AD∥BC，
∴∠AFB=∠ECB，∠ECB=∠CED，
∴∠AFB=∠CED，
在△BGF和△DHE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠EDF}\\{BF=ED}\\{∠BFG=∠HED}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△HED（ASA），
∴GF=EH，
∴四边形EGFH是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，证明四边形AFCE和BFDE是平行四边形是关键．