Question

13．若BN为△ABC的角平分线，则sin∠CBN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠ABN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，作ND⊥AB于点D，则ND=NC，根据三角形的面积公式求得NC的长，然后利用勾股定理求得BN的长，利用三角函数的定义求解．

解答 解：∵3²+4²=5²，即BC²+AC²=AB2，
∴△ABC值直角三角形，∠C=90°．
作ND⊥AB于点D．
∵BN是角平分线，
∴NC=ND，
设NC=ND=x，
又∵S△ABC=S△ABN+S△BCN，即$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•ND+$\frac{1}{2}$BC•NC，
∴3×4=5x+3x，
解得：x=$\frac{3}{2}$．
在直角△BCN中，BN=$\sqrt{B{C}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
则sin∠CBN=sin∠ABN=$\frac{NC}{BN}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角函数的定义，三角函数表示直角三角形中边长的比，根据定义作出辅助线是关键．