Question

5．在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm，Q是直线AB上一点且AQ=1cm，P从点C出发，以2cm/s的速度沿着射线CA方向运动，则当P点运动的时间t为$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{10}{3}$，$\frac{15}{4}$时，△AQP与△ABC中正好有两个内角相等．

Answer 1

分析 当△AQP与△ABC中正好有两个内角相等，此时△AQP∽△ABC，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．

解答 解：由题意可知：CP=2t，
当Q在△ABC的外部时，如图所示，
∴AP=2t-6，
由于△AQP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$或$\frac{AQ}{AP}=\frac{AB}{AC}$
解得：t=$\frac{10}{3}$或$\frac{15}{4}$
当Q在△ABC的内部时，如图所示，
∴AP=2t，
由于△AQP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$或$\frac{AQ}{AP}=\frac{AB}{AC}$
∴t=$\frac{1}{3}$或$\frac{3}{4}$
故答案为：$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{10}{3}$，$\frac{15}{4}$

点评 本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求出t的值，本题属于中等题型．