Question

5．已知：方程4x²+4$\sqrt{a}$x+2b-c=0有两个相等的实数根，a、b、c为△ABC的三边且满足3a-2c=b．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若a、b为方程x²-2kx-（2k-3）=0二根，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个相等的实数根得出△=（4$\sqrt{a}$）²-4×4×（2b-c）=0，即a=2b-c，代入3a-2c=b可得b=c，代入回a=2b-c得a=b；
（2）根据题意知方程x²-2kx-（2k-3）=0有两个相等的实数根，据此得△=（-2k）²-4×1×[-（2k-3）]=0，即k²+2k-3=0，解之可得k=-3或k=1，代回方程求得x的值，判断是否符合题意即可．

解答 解：（1）∵方程4x²+4$\sqrt{a}$x+2b-c=0有两个相等的实数根，
∴△=（4$\sqrt{a}$）²-4×4×（2b-c）=0，即a=2b-c，
∵3a-2c=b．
∴3（2b-c）-2c=b，即b=c，
将b=c代入a=2b-c得：a=b，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形；

（2）∵a、b为方程x²-2kx-（2k-3）=0二根，且a=b，
∴△=（-2k）²-4×1×[-（2k-3）]=0，即k²+2k-3=0，
解得：k=1或k=-3，
当k=-3时，方程为x²+6x+9=0，解得：x₁=x₂=-3＜0（舍）；
当k=1时，方程为x²-2x+1=0，解得：x₁=x₂=1，（符合题意）；
故k=1．

点评 本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．