Question

12．一个教师成功地从光谱数据$\frac{9}{5}$，-$\frac{16}{12}$，$\frac{25}{21}$，-$\frac{36}{32}$，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第5个数$\frac{49}{45}$，那么第n（n≥1）个数据是（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{n}^{2}+4n+4}{{n}^{2}+4n}$．

Answer 1

分析 首先根据5=1×5，12=2×6，21=3×7，32=4×8，可得第5个数的分母是5×9=45，第n个数的分母是n（n+4）；然后根据9-5=4，16-12=4，25-21=4，36-32=4，可得每个数的分母比分子多4，最后判断出第5个数、第n个数的正负，即可求出第5个数、第n（n≥1）个数据各是多少．

解答 解：∵5=1×5，12=2×6，21=3×7，32=4×8，
∴第5个数的分母是5×9=45，第n个数的分母是n（n+4）；
∵9-5=4，16-12=4，25-21=4，36-32=4，
∴每个数的分母比分子多4，
∴第5个数的分母是45+4=49，第n个数的分母是n（n+4）+4=n²+4n+4，
∴第5个数是$\frac{49}{45}$，第n（n≥1）个数据是（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{n}^{2}+4n+4}{{n}^{2}+4n}$．
故答案为：$\frac{49}{45}$，（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{n}^{2}+4n+4}{{n}^{2}+4n}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是分别判断出第5个数、第n个数的分子、分母各是多少，以及它们的正负情况．