Question

如图所示，AB=AC，AD=AE，点E在BD上，AC与BD交于点F，∠BAC=∠EAD=∠BDC=90°．
（1）求证：BE=CD；
（2）若CD=AE，求证：AB+AF=BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）易证∠BAE=∠DAC，即可证明△ABE≌△ACD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）作FG⊥BC，易证∠ABE=∠ACD=22.5°，即可证明△ABF≌△GBF，可得BG=AB，FG=AF，根据BC=BG+CG，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠BAE+∠EAF=∠BAC，∠EAF+∠CAD=∠DAE，∠BAC=∠EAD=∠BDC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠DAC AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD，（SAS）
∴BE=CD；
（2）作FG⊥BC，

∵AE=AD，AE=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠ADE=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCF=22.5°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD=22.5°，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBF=22.5°，即∠CBF=∠ABE，
∵在△ABF和△GBF中，

∠BAF=∠BGF=90° ∠ABF=∠GBF BF=BF

，
∴△ABF≌△GBF，（AAS）
∴BG=AB，FG=AF，
∵FG⊥BC，∠ACB=45°，
∴FG=CG=AF，
∵BC=BG+CG，
∴BC=AB+AF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABE≌△ACD和△ABF≌△GBF是解题的关键．