Question

6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB的中点，CE⊥BD，联结AC、DE．
求证：（1）BE=AD；（2）AC⊥DE．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△DAB≌△EBC，得出对应边相等即可；
（2）证出AC平分∠BAD，再证明AD=AE，由等腰三角形的性质即可得出结论，

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠ABD=∠BCE，
在△DAB和△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ABC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EBC（ASA），
∴BE=AD；
（2）∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠DAC=90°-45°=45°=∠BAC，
即AC平分∠BAD，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
又∵BE=AD，
∴AE=AD，即△ADE是等腰三角形，
∴AC⊥DE．

点评 本题主要考查了梯形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．