Question

10．如图，等边△ABC中，点D在BC的延长线上，且CD=BC，点E为CD上任意一点．以AE为边作等边△AEF，连接DF．
（1）如图1，证明：AE=DF；
（2）如图2，过点D作DG∥AC交BA延长线于点G，当FG⊥BG时，若DE=2，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接CF，先证明△BAE≌△CAF，再证明△FCA≌△FCD即可解决问题．
（2）如图2中，设CF与DG交于点G，连接AG，先证明△DNC，△ACN，△AGN，都是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则EC=a-2，再证明△ACE≌△ANF，在RtFGN中，根据GN=2FN，可得a=2（a-2），由此解方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接CF．

∵△ABC、△AEF都是等边三角形，
∴AC=AB，AF=AE，∠CAB=∠EAF=∠B=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
△BAE≌△CAF，
∴∠ACB=∠B=60°，
∴∠FCD=∠FCA=60°，
在△FCA和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCA=∠FCD}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△FCA≌△FCD，
∴AF=DF=AE．

（2）解：如图2中，设CF与DG交于点G=N，连接AN．

由（1）可知，∠NCD=60°，
∵DG∥AC，
∴∠NDC=∠NCD=60
∴△DNC是等边三角形，易证△ACN，△AGN，都是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则EC=a-2，
在△ACE和△ANF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AN}\\{∠EAC=∠FAN}\\{AF=AE}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ANF，
∴FN=E=a-2，
∵∠FCD=∠B=60°，
∴CF∥BG，
∵FG⊥BG，
∴FG⊥CF，
∴∠GFN=90°，
在Rt△GFN中，∵∠GFN=90°，∠FNG=60°，
∴∠FGN=30°，
∴GN=2FN，即a=2（a-2），
∴a=4，
∴BE=EC+BC=2+4=6．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程思想思考问题，属于中考常考题型．