如图.平面直角坐标系中.直线AB:y=-$\frac{1}{3}$x+b交y轴于点A(0.1).交x轴于点B．过点E(1.0)作x轴的垂线EF交AB于点D.P是直线EF上一动点.且在点D的上方.设P(1.n)．(1)直线AB的表达式为y=-$\frac{1}{3}$x+1,(2)求△ABP的面积,(3)当S△ABP=2时.以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC.请直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-$\frac{1}{3}$x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．
（1）直线AB的表达式为y=-$\frac{1}{3}$x+1；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S_△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，请直接写出点C的坐标．

分析（1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值；
（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得；
（3）当S_△ABP=2时，$\frac{3}{2}$n-1=2，解得n=2，则∠OBP=45°，然后分A、B、P分别是直角顶点求解．

解答解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$x+b经过A（0，1），
∴b=1，
∴直线AB的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+1；
故答案为：y=-$\frac{1}{3}$x+1；

（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，∵x=1时，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{2}{3}$，P在点D的上方，
∴PD=n-$\frac{2}{3}$，S${\;}_{△APD}=\frac{1}{2}$PD•AM=$\frac{1}{2}×1×（n-\frac{2}{3}）=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}$，
由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，
∴S△BPD=$\frac{1}{2}$PD×2=n-$\frac{2}{3}$，
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$+n-$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{2}$n-1；

（3）当S_△ABP=2时，$\frac{3}{2}$n-1=2，解得n=2，
∴点P（1，2）．
∵E（1，0），
∴PE=BE=2，
∴∠EPB=∠EBP=45°．
第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，
过点C作CN⊥直线x=1于点N．
∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，
∴∠NPC=∠EPB=45°，
在△CNP与△BEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NPC=∠EPB}\\{∠CNP=∠PEB=90°}\\{BP=PC}\end{array}\right.$，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN=NC=EB=PE=2，
∴NE=NP+PE=2+2=4，
∴C（3，4）．
第2种情况，如图2∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠CBF=∠PBE=45°，
在△CBP与△PBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠PBE}\\{∠CFB=∠PEB}\\{BC=BP}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△PBE．
∴BF=CF=PE=EB=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，
∴C（5，2）．
第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=EB，
∴∠CPB=∠EBP=45°，
在△PCB和△PEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=EB}\\{∠CPB=∠EBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△PEB（SAS），
∴PC=CB=PE=EB=2，
∴C（3，2）．
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．