Question

8．二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如表：

x	-1	0	1	3
y	-1	3	5	3

①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③x=3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；
④当-1＜x＜3时，ax²+（b-1）x+c＞0．
上述结论中正确的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-x²+3x+3，然后判断出①正确，②错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定③④正确，问题得解．

解答 解：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-1}\\{c=3}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确；
对称轴为直线x=-$\frac{3}{2×（-1）}$=$\frac{3}{2}$，
所以，当x＞$\frac{3}{2}$时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程为-x²+2x+3=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
-1＜x＜3时，ax²+（b-1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故选B．

点评 本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．