Question

直线l的解析式为y=

3

4

x+8，与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l相切于B点．
（1）求点P的坐标及⊙P的半径R；
（2）若⊙P以每秒

10

3

个单位沿x轴向左运动，同时⊙P的半径以每秒

3

2

个单位变小，设⊙P的运动时间为t秒，且⊙P始终与直线l有交点，试求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，利用切线的性质和勾股定理解答；
（2）根据变化过程设出未知量，列不等式计算．

解答：解：（1）如图所示，设半径为r，由于圆与直线l相切于B点，所以根据勾股定理，OP²=r²-8²，故OP=

r2-82

；根据射影定理，OB²=OA•OP，即8²=

r2-82

•

32

3

，解得r=10．OP=

102-82

=6．P点坐标为（6，0）．


（2）根据勾股定理，AB=

82+( 32 3 )2

=

1600

9

，
根据题意得：（

32

3

+6-

10

3

t）²-（10-

2

3

t）²≤

1600

9

，整理得t²-10t≤0，
解得0秒≤t≤10秒．

点评：此题是一道一次函数与圆相结合的动点问题，重在考查分析能力，综合性较强，有一定的难度．