Question

5．如图所示，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F，
求证：四边形CDOF是矩形．

Answer 1

分析 利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形；

解答 证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COD+2∠COF=180°，
∴∠COD+∠COF=90°，
∴∠DOF=90°；
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO=90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF是矩形；

点评 本题考查了矩形的判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．