Question

如图，点P是直线：y=2x-2上的一点，过点P作直线m，使直线m与抛物线y=x²有两个交点，设这两个交点为A、B：
（1）如果直线m的解析式为y=x+2，直接写出A、B的坐标；
（2）如果已知P点的坐标为（2，2），点A、B满足PA=AB，试求直线m的解析式；
（3）设直线与y轴的交点为C，如果已知∠AOB=90°且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将两函数解析式联立求出其交点坐标即可；
（2）设A（m，m²）、B（a，b），进而得出B的横坐标a=2m-2，纵坐标b=m²-（2-m²）=2m²-2，即可得出A点坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）根据题意得出△AEO∽△OFB，则

AE

OE

=

OF

BF

，进而得出x=

k± k2+4b

2

由x₁x₂=-1，再利用勾股定理得出a的值，求出即可．

解答：解：（1）∵直线m解析式为：y=x+2与抛物线y=x²有两个交点，设这两个交点为A、B：

y=x+2 y=x2

解得：

x1=-1 y1=1

，

x2=2 y2=4

．
∴A（2，4）、B（-1，1）；

（2）解法一：设A（m，m²）、B（a，b），
如图1：过A作x轴垂线，过P、B作y轴垂线，交于点F，
∵PA=AB，
在△ABF和△APE中，

∠BFA=∠PEA ∠BAF=∠PAE AB=PA

，
∴△ABF≌△APE（AAS）
∴B的横坐标a=2m-2，纵坐标b=m²-（2-m²）=2m²-2
∵点B在抛物线上，b=a²，∴2 m²-2=（2 m-2）²，
解得m=1或m=3，∴得点A（1，1）或A（3，9）
∵P（2，2），
∴设直线m的解析式为：y=kx+b，

k+b=1 2k+b=2

，
解得：

k=1 b=0

，
∴直线m的解析式为：y=x，
同理可得出：直线m的解析式为：y=7x-12，
综上所述：直线m的解析式为：y=x 或y=7x-12；
（解法二：设B（a，a²），∵PA=AB，∴A是线段PB的中点，∴A（

a+2

2

，

a2+2

2

），
∵A在抛物线上，∴（

a+2

2

）²=

a2+2

2

，
解得：∴a=0或4，∴B（0，0）、B（4，16），即可求出直线m的解析式）；

（3）设直线m：y=kx+b）k≠0）交y轴于D，设A（x₁，

x

2 1

），B（x₂，

x

2 2

）．
如图2，过A、B分别作AE、BF垂直x轴于E、F，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠AOE=90°，
∵∠FBO+∠BOF=90°，
∴∠FBO=∠AOE，
∵∠BFO=∠AEO，
∴△AEO∽△OFB，
∴

AE

OE

=

OF

BF

，
∴

x 2 1

x1

=

-x2

x2

，∴x₁x₂=-1，
∵A、B是y=kx+b与y=x²的交点，
∴x₁，x₂是kx+b=x²的解，
∴x=

k± k2+4b

2

由x₁x₂=-1，
解得：b=1，∴D（0，1），
∵∠BPC=∠OCP，∴DP=DC=3，
过P作PG垂直y轴于G，则：PG²+GD²=DP²，
∴设P（a，2a-2），有a²+（2a-2-1）²=3²，
解得：a=0（舍去）或a=

12

5

，
∴P（

12

5

，

14

5

）．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及二次函数综合等知识，利用数形结合得出D点坐标是解题关键．