如图1.抛物线y=ax2+bx-4a经过A两点.与x轴交于另一点B．(1)求抛物线和直线BC的解析式,(2)如图2.点P为第一象限抛物线上一点.是否存在使△PBC面积最大的点P?若存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由,(3)如图3.若抛物线的对称轴EF与直线BC相交于点F.M为直线BC上的任意一点.过点M作MN∥EF交抛物线于点N.以E.F.M.N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图1，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）根据抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，进而求出点B的坐标，即可求出直线BC的解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-x²+3x+4），则Q（x，-x+4）；求出PQ的长，利用S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB列出S关于x的二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求出点P的坐标；
（3）首先求出EF的长，设N（x，-x²+3x+4），则M（x，-x+4），利用平行四边形对边平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．

解答解：（1）依题意，有：$\left\{\begin{array}{l}a-b-4a=0\\-4a=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式：y=-x²+3x+4．
∴由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=-x+4；

（2）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=-x+4；
如图1，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-x²+3x+4），则Q（x，-x+4）；
∴PQ=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x；
S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-x²+4x）×4=-2（x-2）²+8；
∴当P（2，6）时，△PCB的面积最大；

（3）存在．
抛物线y=-x²+3x+4的顶点坐标E（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
直线BC：y=-x+4；当x=$\frac{3}{2}$时，F（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴EF=$\frac{15}{4}$．
如图2，过点M作MN∥EF，交直线BC于M，设N（x，-x²+3x+4），则M（x，-x+4）；
∴MN=|（-x²+3x+4）-（-x+4）|=|-x²+4x|；
当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，
∴|-x²+4x|=$\frac{15}{4}$；
由-x²+4x=$\frac{15}{4}$时，解得x₁=$\frac{5}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$（不合题意，舍去）．
当x=$\frac{5}{2}$时，y=-（$\frac{5}{2}$）²+3×$\frac{5}{2}$+4=$\frac{21}{4}$，
∴N₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$）．
当-x²+4x=-$\frac{15}{4}$时，解得x=$\frac{4±\sqrt{31}}{2}$，
当x=$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$时，y=$\frac{-7-2\sqrt{31}}{4}$，
∴N₂（$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{31}}{4}$），
当x=$\frac{4-\sqrt{31}}{2}$时，y=$\frac{-7+2\sqrt{31}}{4}$，
即N₃（$\frac{4-\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7+2\sqrt{31}}{4}$），
综上所述，点N坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$）、（$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{31}}{4}$），（$\frac{4-\sqrt{31}}{2}$，$\frac{-7+2\sqrt{31}}{4}$）．