Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．试说明AF平分∠BAC的理由．
解：因为AB=AC（已知），
所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
因为BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
所以∠CEB=∠BDC=90°（垂直的意义）．
在△EBC中，
∠ECB+∠EBC+∠CEB=180°（三角形内角和为180°）．
同理：∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°．
所以∠ECB=∠DBC（等式性质）．
所以FB=FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\ AF=AF（公共边）\\ FB=FC（已证）\end{array}\right.$
所以△ABF≌△ACF（SSS），
所以∠BAF=∠CAF（全等三角形的对应角相等），
即AF平分∠BAC．

Answer 1

分析 先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．

解答 解：因为AB=AC（已知），
所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
因为BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
所以∠CEB=∠BDC=90°（垂直的意义）．
在△EBC中，
∠ECB+∠EBC+∠CEB=180°（三角形内角和为180° ）．
同理：∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°．
所以∠ECB=∠DBC（等式性质）．
所以FB=FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\ AF=AF（公共边）\\ FB=FC（已证）\end{array}\right.$
所以△ABF≌△ACF（ SSS），
所以∠BAF=∠CAF（ 全等三角形的对应角相等），
即AF平分∠BAC．
故答案为：等边对等角，90°，三角形内角和为180°，等角对等边，SSS，全等三角形的对应角相等．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．