题目内容
19．阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=$\sqrt{2}$-1
小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：tan22.5°=$\sqrt{2}$-1．
参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．
分析 如图2，设CD=CA=a，△ACD为等腰直角三角形，则AD=$\sqrt{2}$a，易得∠DAB=∠B=22.5°，所以DB=DA=$\sqrt{2}$a，再在Rt△ABC中，利用正切定义可计算出tanB=$\sqrt{2}$-1，即tan22.5°=$\sqrt{2}$-1；
如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，则∠D=∠ACD，利用三角形外角性质易得∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，利用含30度三边的关系得到AC=2x，AH=$\sqrt{3}$x，则AD=AC=2x，DH=AD+AH=（2+$\sqrt{3}$）x，然后在Rt△DCH中，利用正切的定义可计算出tanD=2-$\sqrt{3}$，即tan15°=2-$\sqrt{3}$．
解答 解：
如图2，设CD=CA=a，则AD=$\sqrt{2}$a，
∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，
∴∠DAB=22.5°，
∴∠DAB=∠B，
∴DB=DA=$\sqrt{2}$a，
∴BC=BD+CD=（$\sqrt{2}$+1）a，
在Rt△ABC中，tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{a}{（\sqrt{2}+1）a}$=$\sqrt{2}$-1，
即tan22.5°=$\sqrt{2}$-1；
故答案为$\sqrt{2}$-1；$\sqrt{2}$-1；
如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，
∴∠D=∠ACD，
∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°，
∴∠D=15°，
作CH⊥AB于H，设CH=x，则AC=2x，AH=$\sqrt{3}$x，
∴AD=AC=2x，
∴DH=AD+AH=（2+$\sqrt{3}$）x，
在Rt△DCH中，tanD=$\frac{CH}{DH}$=$\frac{x}{（2+\sqrt{3}）x}$=2-$\sqrt{3}$，
即tan15°=2-$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是构建含22.5度和15度的直角三角形．
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若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：| x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | … |
| y | … | -5 | 0 | 3 | 4 | 3 | … |
（2）画出此函数图象（不用列表）．
（3）结合函数图象，当-4＜x≤1时，写出y的取值范围．
| A． | a＞0 | B． | 0≤a＜1 | C． | 0＜a≤1 | D． | a≤1 |
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（ ）| A． | 90° | B． | 100° | C． | 120° | D． | 140° |
| A． | 62、82、102 | B． | 6、8、9 | C． | 2、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$ |
| A． | 3，4，8 | B． | 4，4，8 | C． | 5，6，10 | D． | 6，7，14 |