Question

如图，在⊙M中，所对的圆心角为120°，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系。

（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ABCD的最大面积；
（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图，连接MA、MB， 则∠AMB=120°， ∴∠CMB=60°，∠OBM=30度 ∴OM=MB=1， ∴M（0，1）。 （2）由A，B，C三点的特殊性与对称性， 知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c ∵OC=MC-MO=1， ∴C（0，-1），B（，0） ∴ ∴。 （3）∵ 又与AB均为定值 ∴当△ABD边AB上的高最大时，S△ABD最大， 此时点D为⊙M与y轴的交点，如图 ∴。
（4）如图，∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°， ∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°， 设且x＞0，则 又∵的坐标满足 ∴在抛物线上，存在点 使 由抛物线的对称性，知点也符合题意 ∴存在点P，它的坐标为或。