Question

在ABC中，点F在线段AD上，BD=DE=EC，∠EDF=∠DEF=60°．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）求证：CF⊥AD；
（3）若∠ABC=45°，求∠ACB的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先证明BE=CD，然后运用SAS公理证明△BEF≌△CDF，即可解决问题．
（2）证明EF=

1

2

CD，运用若一个三角形某边上的中线等于该边的一半，那么该三角形为直角三角形，即可解决问题．
（3）证明AF=CF，得到∠FAC=∠FCA=45°，即可解决问题．

解答： 解：（1）∵∠EDF=∠DEF=60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF=DF；
∵BD=DE=EC，
∴BE=CD；
在△BEF与△CDF中，

BE=DC ∠BEF=∠CDF EF=DF

，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．
（2）∵△DEF为等边三角形，
∴EF=DE=EC，
即EF=

1

2

CD，
∴CF⊥AD．
（3）∵△BEF≌△CDF，
∴∠BFE=∠DFC=90°，
∴∠DBF=∠BFD=90°-60°=30°；
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=45°-30°=15°，
∴∠BAF=30°-15°=15°，
∴∠ABF=∠BAF=15°，
∴AF=BF；
∵△BEF≌△CDF，
∴FC=BF，AF=CF；
∵CF⊥AD，
∴∠FAC=∠FCA=45°，而∠FCD=30°，
∴∠ACB=75°．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中隐含的数量关系，灵活运用全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点来分析、判断、解答．