Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点．点A的横坐标为-3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S_{四边形OBDC}=2S_△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）将x=0代入y=x-1求出B的坐标，将x=-3代入y=x-1求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，由此表示出S_{四边形OBDC}和2S_△BPD建立方程求出其解即可．
（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，根据比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．

解答：解：（1）∵y=x-1，
当x=0时，y=-1，
∴B（0，-1）．
当x=-3时，y=-4，
∴A（-3，-4）．
∵y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，
∴

-1=c -4=9-3b+c

，
∴

b=4 c=-1

，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x-1；

（2）∵P点横坐标是m（m＜0），
∴P（m，m²+4m-1），D（m，m-1）
如图1①，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²，
∴

-m(1+1-m)

2

=2×

-m(-3m-m2)

2

，
解得：m₁=0（舍去），m₂=-2，m₃=-

1

2

；
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=m²+4m-1+1-m=3m+m²，
∴

-m(1+1-m)

2

=2×

-m(2-5m-m2)

2

，
解得：m=0（舍去）或m=

-7+ 65

4

（舍去）或m=

-7- 65

4

，
∴m=-

1

2

，-2或

-7- 65

4

时，S_{四边形OBDC}=2S_△BPD；

（3）如图2，当∠APD=90°时，设P（m，m²+4m-1），则D（m，m-1），
∴AP=m+3，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴DP=1-4m-m²-1+m=-3m-m²．
在y=x-1中，当y=0时，x=1，
∴F（1，0），
∴OF=1，
∴CF=1-m．AF=4

2

．
∵PC⊥x轴，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，

AP

CF

=

DP

CD

，
∴

m+3

1-m

=

-3m-m2

1-m

，
解得：m=-1或m=-3（舍去），
∴P（-1，-4）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°，CE=-3-m，EF=4，AF=4

2

，PD=1-m-（1-4m-m²）=3m+m²．
∵PC⊥x轴，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．
∴

4

-3-m

=

4 2

AD

，
∴AD=

2

（-3-m）．
∵△PAD∽△FEA，
∴

PD

FA

=

AD

AE

，
∴

3m+m2

4 2

=

2 (-3-m)

4

，
∴m=-2或m=-3（舍去）
∴P（-2，-5）．
当∠APD=90°时
∴点A与点P关于对称轴对称
∵A（-3，-4）
∴P（-1，-4）
综上，存在点P（-2，-5）或P（-1，-4）使△PAD是直角三角形．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．