Question

如图，A（0，2），M（4，3），N（5，6），动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线L：y=-x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若点M，N位于直线L的异侧，则t的取值范围是

 

；当t=

 

时，点M关于直线l的对称点落在坐标轴上．

Answer 1

考点：一次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：先分别计算出直线y=-x+b过M点和N点的所应的b的值，则可得到点P从点A开始移动的距离，从而可确定点M，N位于直线L的异侧，则可得到t的取值范围；如图，当M点关于l的对称点C落在x轴上，l与x轴交于D，连接DM，利用直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，利用对称的性质得DC=DM，所以∠MDC=90°，所以D点坐标为（4，0），再计算直线过D（4，0）时的b的值，得到点P从点A开始移动的距离，从而求出移动的时间；同理可得，M点关于l的对称点C落在y轴上时，计算对应的时间t．

解答：解：把M（4，3）代入y=-x+b得-4+b=3，解得b=7，此时平移后的直线与y轴的交点坐标为（7，0）；
把N（5，6）代入y=-x+b得-5+b=6，解得b=11，此时平移后的直线与y轴的交点坐标为（11，0）；
因为7-2=5，11-2=9，
所以点M，N位于直线L的异侧，t的取值范围是为5＜t＜9；
如图，M点关于l的对称点C落在x轴上，l与x轴交于D，连接DM，
∵直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，
而DC=DM，
∴∠MDC=90°，
∴D点坐标为（4，0），
把D（4，0）代入y=-x+b得-4+b=0，解得b=4，
而4-2=0，
∴t=2时，点M关于直线l的对称点落在x轴上；
同理可得，M点关于l的对称点C落在y轴上时，直线y=-x+b过点（4，-1），
把（4，-1）代入y=-x+b得-4+b=-1，解得b=3，
而3-2=1，
∴t=1时，点M关于直线l的对称点落在y轴上，
∴当t=1或2时，点M关于直线l的对称点落在坐标轴上．
故答案为5＜t＜9；1或2．

点评：本题考查了一次函数与几何变换：直线y=kx+b沿y轴向上平移m个单位所得直线解析式为y=kx+b+m，沿y轴向下平移m个单位所得直线解析式为y=kx+b-m．