Question

5．已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，点E为边CD的中点，AB⊥BE．
（1）求证：BD²=AD•DC；
（2）连结AE，当BD=BC时，求证：ABCE为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到BE=DE，由等腰三角形的性质得到∠DBE=∠BDE，根据角平分线的定义得到∠ADB=∠BDE，等量代换得到∠ADB=∠DBE，根据平行线的判定定理得到AD∥BE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由已知条件得到△BDC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BDC=45°，求得∠ADE=90°，推出四边形ADEB是矩形，根据矩形的性质得到AB=DE，AE=BD，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵DB⊥BC，点E为边CD的中点，
∴BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDE，
∴∠ADB=∠DBE，
∴AD∥BE，
∵AB⊥BE，
∴∠A=∠ABE=90°，
∵∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
∴△ADB∽△BDC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
∴BD²=AD•DC；
（2）解：∵BD=BC，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADE=90°，
∴四边形ADEB是矩形，
∴AB=DE，AE=BD，
∴AB=CE，AE=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．