Question

19．如图，△ABC和△DBE为等腰直角三角形，且AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 首先根据AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，求出DE的长是多少；再根据△DBE为等腰直角三角形，求出BD的长是多少；然后在△ABD中，根据余弦定理，求出AB的长是多少；最后根据△ABC为等腰直角三角形，求出AC的长是多少即可．

解答 解：∵AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，
∴DE=2+2$\sqrt{3}$，
∵△DBE为等腰直角三角形，
∴BD=（2+2$\sqrt{3}$）÷$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，∠ADB=45°，
在△ABD中，根据余弦定理，可得
AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos45°
=2²${+（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}^{2}$$-2×2×（\sqrt{2}+\sqrt{6}）$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=4+8+$4\sqrt{3}$-4-4$\sqrt{3}$
=8
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=2$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=4，
即AC的长是4．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．