Question

8．如图，在等腰直角三角形ABC中，点P是斜边AB上的任意一点（不与点A、B重合），试探究PA²+PB²与PC²间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 过P点作PE⊥AB，垂足为D，作PF⊥AC，垂足为E，利用勾股定理表示出BP²和PC²，结合∠ACB=90°，AB=AC，即可证明出该结论．

解答 解：PA²+PB²=2PC²；理由如下：
过P点作PD⊥AC，垂足为D，作PE⊥BC，垂足为E，如图所示：
则四边形CDPE是矩形，
∴PD=CE，CD=PE，
∴在Rt△ADP中，PA²=AD²+PD²，
在Rt△PEB中，PB²=PE²+BE²，
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠APD=∠BPE=∠A=∠B=45°，
∴PE=BE，PD=AD，
即PA²+PB²=AD²+PD²+PE²+BE²=CE²+CE²+PE²+PE²=2PC²

点评 本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质；熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．