Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若⊙O的半径为2，AC=2，求CE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=AB，即可证得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，根据勾股定理即可得（x-2）²+x²=4，继而求得BC的长，又可证得CE=CB=CD，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DC=CB
∴AD=AB，
∴∠B=∠D．  

（2）设BC=x，则AC=x-2．
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（x-2）²+x²=4，
解得：x1=1+

7

，x2=1-

7

（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB
∴CE=CB=1+

7

．

点评：此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．