问题提出:如果一个多边形的各个顶点均在另一个多边形的边上.则称这个多边形为另一多边形的内接多边形问题探究:(1)如图1.正方形PEFG的顶点E.F在等边三角形ABC的边AB上.顶点P在AC边上．请在等边三角形ABC内部.以A为位似中心.作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'.且使正方形P'E'F'G'的面积最大(2)如图2.在边长为4正方形ABCD中.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．问题提出：如果一个多边形的各个顶点均在另一个多边形的边上，则称这个多边形为另一多边形的内接多边形
问题探究：

（1）如图1，正方形PEFG的顶点E、F在等边三角形ABC的边AB上，顶点P在AC边上．请在等边三角形ABC内部，以A为位似中心，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，且使正方形P'E'F'G'的面积最大（不写作法）
（2）如图2，在边长为4正方形ABCD中，画出一个面积最大的内接正三角形，并求此最大内接正三角形的面积
拓展应用：
（3）如图3，在边长为4的正方形ABCD中，能不能截下一个面积最大的直角三角形，并使其三边比为3：4：5，若能，请求出此直角三角形的最大面积，若不能，请说明理由．

分析（1）利用位似图形的性质，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，如图1所示；
（2）如图2，△DEF是最大内接正三角形，在AD上取一点M，使得EM=MD．由△DAE≌△DCF，推出∠ADE=∠CDF，由∠ADC=90°，推出∠ADE=∠CDF=15°，推出∠MED=∠MDE=15°，推出∠AME=∠MED+∠MDE=30°，设AE=a，则EM=DM=2a，AM=$\sqrt{3}$a，可得$\sqrt{3}$a+2a=4，推出a=4（2-$\sqrt{3}$），推出BE=BF=4（$\sqrt{3}$-1），由此即可解决问题．
（3）能．理由：如图3中，假设△BEF是直角三角形，EF：BE：BF=3：4：5，由△ABE∽△DEF，可得$\frac{DE}{AB}$=$\frac{DF}{AE}$=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{3}{4}$，AB=4，推出DE=3，AE=1，DF=$\frac{3}{4}$，推出BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{17}$，由此即可解决问题．

解答解：（1）如图1，正方形P'E'F'G'即为所求；

（2）如图2，△DEF是最大内接正三角形，在AD上取一点M，使得EM=MD．

∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
在Rt△DAE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF，
∴∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF=15°，
∴∠MED=∠MDE=15°，
∴∠AME=∠MED+∠MDE=30°，
设AE=a，则EM=DM=2a，AM=$\sqrt{3}$a，
∴$\sqrt{3}$a+2a=4，
∴a=4（2-$\sqrt{3}$），
∴BE=BF=4（$\sqrt{3}$-1），
∴S_△DEF=16-2×$\frac{1}{2}$×4×4（2-$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$×4（$\sqrt{3}$-1）×4（$\sqrt{3}$-1）=16（2$\sqrt{3}$-3）．

（3）能．理由：如图3中，假设△BEF是直角三角形，EF：BE：BF=3：4：5，

∵∠A=∠D=∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{DF}{AE}$=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{3}{4}$，∵AB=4，
∴DE=3，AE=1，DF=$\frac{3}{4}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{17}$，
∴△BEF满足条件，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•BE•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×$\frac{3}{4}$$\sqrt{17}$=$\frac{51}{8}$．