Question

17．在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AB于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知BE=2，BD=2$\sqrt{3}$，求圆弧的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，求出∠ODC=90°，推出OD∥AC，TUIC∠DAC=∠ODA，根据等腰三角形性质推出∠ODA=∠DAO=∠DAC，即可推出答案；
（2）过过O作OH⊥AC于H，根据垂径定理求出AE，得出矩形OHCD，求出OH，在△AOH中，根据勾股定理求出半径即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）解：过O作OH⊥AC于H，
∵OH⊥AC，OH过O，
∴AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=1，
∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，
∴OH∥CD，
∵OD∥AC，
∴四边形OHCD是矩形，
∴OH=DC=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，

点评 本题考查了切线性质，勾股定理，等腰三角形性质，平行线的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．