Question

4．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，且对称轴为直线x=-3．
（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴CD与直线AB相交于点D，顶点为C．求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据的解析式求得A、B的坐标，然后利用顶点公式用待定系数法得到二次函数的解析式即可．
（2）根据解析式求得顶点C坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，把x=-3代入求得D的坐标，进而即可求得CD的长．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与x轴、y轴分别相交于B、A两点，
∴令x=0，则y=$\frac{7}{2}$，令y=0，则x=-7，
∴A（0，$\frac{7}{2}$），B（-7，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=-3．
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）²+b，
∵抛物线过A（0，$\frac{7}{2}$），B（-7，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+b=\frac{7}{2}}\\{16a+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+8．
（2）由抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+8可知顶点C（-3，8），
∵A（0，$\frac{7}{2}$），B（-7，0），
设直线AB的解析式为y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{7}{2}}\\{-7k+n=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
当x=-3时，y=$\frac{1}{2}$×（-3）+$\frac{7}{2}$=2，
∴D（-3，2），
∴CD=8-2=6．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．