Question

去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

(1)、若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？

(2)、水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

Answer 1

解：（1）作点B关于x轴的对成点E，连接AE，则点E为（12，-7）

　 设直线AE的函数关系式为y=kx+b,则

　 2k+b=3

12k+b=-7

解得　 k=-1

　　　　　 b=5

当y=0时， x=5

所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。

（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴欲点G

设点G的坐标为（x，0）

在Rt△AGD中，AG²=AD²+DG²=3²+(x-2)²

在Rt△BCG中，BG²=BC²+GC²=7²+(12-x)²

∵AG=BG　 ∴3²+(x-2)²=7²+(12-x)²　 解得 x=9

所以 ，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。