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20．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动，某化工厂2011年1月的利润为160万元，设2011年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，由于排污超标，该厂决定从2011年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，整个工程经过治污改造、调试、全面投产是三个时期，经测算：从1月到5月为治污改造期，y是x的二次函数，且其图象的顶点为（5，80），到5月底治污改造工程顺利完成，进接的6月、7月为调试期，月利润和5月份持平，调试期过后，设备全面投产，该厂每月利润比前一个月增加15万元，如图所示．
（1）求治污改造期和全面投产期y与x的函数关系；
（2）全面投产后，经过几个月该厂月利润才能达到2011年1月的水平？
（3）当月利润少于100万元时，该月为工厂资金期连续超过6个月就有停产的危险，问：该厂这次改造工厂是否导致停产的危险？说明理由．

分析 （1）用顶点式设出二次函数解析式，把（1，160）代入可得二次函数解析式；
（2）7月后y=80+15×比7月份增加的月数，让y=160求得合适的整数解即可；
（3）分别把100代入（1）（2）得到的关系式，看利润为100时共有几个月，与6比较即可．

解答 解：（1）根据图象，二次函数图象经过（1，160），
设二次函数为y=a（x-5）2+80，
则16a+80=160，
解得a=5，
∴二次函数为y=5（x-5）2+80 （1≤x≤5），
∴治污改造期间y与x的函数关系式为y=5（x-5）2+80；

（2）设利润为y，
y=80+15（x-7），
当y=160时，x=12$\frac{1}{3}$，
12$\frac{1}{3}$-7=5$\frac{1}{3}$，
∴全面投产后，经过6个月，该厂利润才能达到160万元；

（3）当y=100时，100=5（x-5）2+80，解得x1=3，x2=7，
80+15（x-7）=100，解得x=8$\frac{1}{3}$，
∴资金紧张期共有8-2=6个月．
故该厂资金紧张期共有6个月，没有停产的危险．

点评 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=$-\frac{b}{2a}$时取得．

练习册系列答案
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