Question

如图，在等边△ABC中，K、D两点分别在AB、BC上，BK=CD，连接AD、CK并延长CK至点F，连接FB，∠F=30°．
（1）求角AEK的度数．
（2）当AE=5，CE=3时，求CF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）先证明△BKC≌△CDA，∴∠BCK═∠DAC∵∠AEK=∠DAC+∠ACE=∠BCK+∠ACD=60°
（2）作CM⊥AD，交AD的延长线于M，BN⊥CF．证明△BCN≌△ACM，得出CN=AM，BN=CM，进一步由直角三角形的性质解得结论即可．

解答：解：（1）在△BKC和△CDA中，

BC=AC ∠KBC=∠ACD=60° BK=CD

∴△BKC≌△CDA，
∴∠BCK=∠DAC，
∴∠AEK=∠DAC+∠ACE=∠BCK+∠ACD=60°．
（2）如图，

作CM⊥AD，交AD的延长线于M，BN⊥CF．
∴∠BNK=∠CMD=90°，
在△BCN和△ACM中，

BC=AC ∠BCN=∠CAM ∠BNC=∠AMC=90°

∴△BCN≌△ACM，
∴CN=AM，BN=CM，
在RT△ECM中∠MEC=∠ADK=60°，
∴∠ECM=30°，
∴EM=

3

2

，MC=BN=

3 3

2

，
∴AM=CN=6.5，
在RT△FBN中，∠F=30°，
∴FN=4.5，
∴FC=FN+NC=11．

点评：此题考查三角形全等的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，注意结合图形，作出适当的辅助线解决问题．