Question

9．小明发现：作两条互相垂直的直线MN、PQ，垂足为O，作∠PON的角平分线OE，点A、B分别是OE、PQ上任意一点，再作∠ABP的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，∠C的大小是不随A、B的变化而变化的，是一个定值，∠C为22.5°．

Answer 1

分析 先求出∠AOB=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ABD和∠ABP，然后根据BD是∠ABP的平分线，列式整理即可得解．

解答 解：∵MN⊥PQ，OE平分∠PON，
∴∠AOB=45°，
∵BD平分∠ABP，AC平分∠OAB，
∴∠ABP=2∠ABD，∠OAB=2∠BAC，
在△ABC中，∠ABD=∠C+BAC，
在△OAB中，∠ABP=∠AOB+∠OAB，
∴∠AOB+∠OAB=2（∠C+BAC），
整理得，∠AOB=2∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
故答案为：22.5．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并理清图中角度之间的关系是解题的关键．