Question

17．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作BA∥EF交DE的延长线于点A，过点D作DC∥EF交BE的延长线于点C．
（1）求证：$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$；
（2）请找出S_△ABD，S_△BED，S_△BDC之间的关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．

解答 （1）证明：∵AB∥EF
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{DB}$，
∵CD∥EF
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{EF}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=$\frac{DF}{DB}+\frac{BF}{DB}$=$\frac{DB}{DB}$=1，
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$；


（2）关系式为：$\frac{1}{{S}_{△ABD}}$+$\frac{1}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{{S}_{△BED}}$，
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{CK}$=$\frac{1}{EN}$
∴$\frac{2}{BD•AM}$=$\frac{2}{BD•EN}$
即$\frac{1}{\frac{1}{2}•BD•AM}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}BD•EN}$
又∵$\frac{1}{2}$•BD•AM=S_△ABD，$\frac{1}{2}$BD•CK=S_△BCD
∴$\frac{1}{2}$BD•EN=S_△BED
∴$\frac{1}{{S}_{△ABD}}$+$\frac{1}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{{S}_{△BED}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．