Question

7．如图AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下5个结论：
①OD∥AC；
②AC=2CD；
③2CD²=CE•AB；
④S_△AEC=2S_△DEO；
⑤线段OD是DE与DA的比例中项．
其中正确结论的序号（　　）

• A． ①②③
• B． ①④⑤
• C． ①③④
• D． ①③④⑤

Answer 1

分析 ①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；
②过点O作OG⊥AC，再根据直角三角形斜边大于直角边可证；
③可证得△CED∽△CDO，根据相似三角形的对应边成比例，可得CD²=OC•CE=$\frac{1}{2}$AB•CE，即可证得结论；
④利用相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质得出即可；
⑤△ADO和△DOE不相似，故线段OD不是DE与DA的比例中项．

解答 解：①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故①正确．

②如图1，过点O作OG⊥AC，连接CG，AG，
∵OG⊥AC，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$，
∵半径OC⊥AB于点O，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$=$\widehat{CD}$，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故②错误．

③∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD²=OC•CE=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
故③正确．

④如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，
EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴$\frac{EC}{EO}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEC}}{{S}_{△DEO}}$=（$\sqrt{2}$）²=2，
∴S_△AEC=2S_△DEO；
故④正确，

⑤∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO=22.5°，∠EOD=45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴线段OD不是DE与DA的比例中项，
∴故⑤错误．
综上所述，只有①③④正确．
故选C．

点评 此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．