Question

2．如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A出发，以每秒1cm的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以每秒3cm的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）求当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？
（2）求当t为何值时，四边形PQCD成为等腰梯形？
（3）四边形ABPQ在某一时刻会不会是正方形？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据题意可得PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24-t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）首先过D作DE⊥BC于E，可求得EC的长，又由当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案；
（3）根据正方形的性质得出AP=AB=BQ=8，再判断即可．

解答 解：（1）根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t，
∵AD∥BC，
∴PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24-t=3t，
解得：t=6，
即当t=6时，四边形PQCD为平行四边形；

（2）过D作DE⊥BC于E，
则四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=24cm，
∴EC=BC-BE=2cm，
当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：
过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形PDEF是矩形，
∴EF=PD，PF=DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=DE}\\{PQ=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即3t-（24-t）=4，
解得：t=7，
即当t=7时，四边形PQCD为等腰梯形；

（3）四边形ABQP在某一时刻不会是正方形，
理由是：当四边形ABQP是正方形时，AP=AB=BQ=8，
当AP=8时，t=8，此时BQ=26-3×8=2≠8，
所以四边形ABQP不能是正方形．

点评 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、正方形的性质和判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．