Question

9．（1）如图1，已知点D是线段AC的中点，点B在线段DC上，且AB=4BC，若BD=6cm，求AB的长．
（2）如图2，OC是∠AOB的角平分线，∠BOD=$\frac{1}{3}$∠COD，∠BOD=15°．求∠AOD的大小．

Answer 1

分析 （1）根据AB=4BC，AB+BC=AC，可得AC=5BC，由线段中点的性质，可得AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$BC，再根据BD=DC-BC=6cm，可得关于BC的方程，根据解方程，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案；
（2）利用角平分线的性质得出∠BOC=∠AOC，进而利用已知角的度数得出∠AOD的度数．

解答 解：（1）∵AB=4BC，AB+BC=AC，
∴AC=5BC，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$BC，
∵BD=DC-BC=6cm，
∴$\frac{5}{2}$BC-BC=6cm，
∴BC=4cm，
∴AB=AC-BC=5BC-BC=4BC=16cm；

（2）∵∠BOD=$\frac{1}{3}$∠COD，∠BOD=15°，
∴∠COD=3∠BOD=45°，
∴∠BOC=45°-15°=30°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC=∠AOC=30°，
∴∠AOD=75°．

点评 此题主要考查了两点间的距离，中点的定义，角平分线的定义，（2）中正确得出∠BOC=∠COA的度数是解题关键．