Question

15．金秋时节，桐乡杭白菊喜获丰收．某杭白菊经销商以每千克12元的价格购进一批鲜杭白菊，加工后出售，已知加工过程中质量损耗了40%，该商户对该杭白菊试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的125%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数y=kx+b，且x=35时，y=41；x=40时，y=36．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元/千克时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商户每天获得利润不低于384元，试确定销售单价x的范围．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）先根据加工过程中质量损耗了40%求出杭白菊的实际成本，再根据“总利润=每千克的利润×销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的125%”得出x的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值；
（3）根据“每天获得利润不低于384元”列出不等式，解不等式后结合20≤x≤45可得答案．

解答 解：（1）将x=35、y=41和x=40、y=36代入y=kx+b，得：
$\left\{\begin{array}{l}{35k+b=41}\\{40k+b=36}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=76}\end{array}\right.$，
∴y=-x+76；

（2）∵这批鲜杭白菊的实际成本为$\frac{12}{1-40%}$=20元/千克，
∴W=（x-20）（-x+76）=-x²+96x-1520=-（x-48）²+784，
又∵20≤x≤20×（1+125%），即20≤x≤45，
∴当x=45时，W_最大值=775，
答：销售单价定为45元/千克时，商户每天可获得最大利润，最大利润是775元；

（3）根据题意，得：-（x-48）²+784≥384，
解得：28≤x≤68，
又20≤x≤45，
∴28≤x≤45．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．