Question

2．如图，已知EC与⊙O相切，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，若AO=2cm．
（1）求∠A的度数；
（2）求DE的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，然后由直角三角形的性质即可得到结论；
（2）由∠E=90°，于是得到CE=sin60°•AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，由∠ODC=90°，于是得到CD=sin60°•OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，根据线段的和差即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵EC与⊙O相切，
∴∠ODC=90°，
∵AO=2cm，
∴AO=OD=OB=2cm，
∵OC=OB+BC=2DO，
∴∠C=30°，
∵∠E=90°，
∴∠A=60°；

（2）∵∠E=90°，
∴CE=sin60°•AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∵∠ODC=90°，
∴CD=sin60°•OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
∴DE=CE-CD=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，连接OD构造直角三角形是解题的关键．