题目内容

10．在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线时，求∠CC1A1的度数；
（2）已知AB=6，BC=8，
①如图2，连接AA1，CC1，若△CBC1的面积为16，求△ABA1的面积；
②如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值．

分析 （1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；
（2）①由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值．

解答 解：（1）依题意得：△A1C1B≌△ACB，
∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°，
∴∠BC1C=∠C=30°，
∴∠CC1A1=60°；
（2）如图2所示：
由（1）知：△A1C1B≌△ACB，
∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，
∴∠1=∠2，$\frac{{A}_{1}B}{{C}_{1}B}=\frac{AB}{CB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴△A1BA∽△C1BC，
∴$\frac{{S}_{△{A}_{1}BA}}{{S}_{△{C}_{1}BC}}$=（$\frac{3}{4}$）2，
∵△CBC1的面积为16，
∴△ABA1的面积=9
（3）线段EP1长度的最大值为11，理由如下：
如图3所示：当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，
最大值为：EP1=BC+BE=8+3=11．
即线段EP1长度的最大值为11．

点评 此题是三角形综合题目，考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及最大值问题；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．

练习册系列答案
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2．如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，且AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加的一个条件是（　　）
A．∠B=∠EB．∠A=∠EDFC．∠BCA=∠FD．BC∥EF
1．根据条件画出图形，并解答问题．
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18．小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．
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5．如图，已知线段AB=16cm，点M在AB上，AM：BM=1：3，P，Q分别为AM，AB的中点，则PQ的长为6cm．
15．若a：b=1：2，b：c=3：4，则a：b：c=（　　）
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2．已知：如图，∠1+∠D=90°，BE∥FC，且DF⊥BE与点G，并分别与AB、CD交于点F、D．求证：AB∥CD．（完成证明并写出推理依据）
证明：∵DF⊥BE（已知），
∴∠2+∠D=90°（三角形内角和定理），
∵∠1+∠D=90°（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∵BE∥CF（已知），
∴∠2=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠C（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
19．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，当平行四边形CBPQ的面积为30时，求点P的坐标．
20．已知线段AB=12cm，M是AB的中点，N是AM的中点，则线段BN的长是9cm．

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