Question

10．已知抛物线y=-x²-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{16}{9}$
• D． $\frac{20}{9}$

Answer 1

分析 根据已知条件可以判定△ACH∽△CPQ，首先求出直线CM的解析式为y=2x+6，再联立两函数解析式即可得出交点坐标，根据两点间的距离公式来求CP的长度即可．

解答 解：∵y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），或y=-（x+1）²+4，
∴A（-3，0），B（1，0），C（-1，4），H（-1，0）．
∴AC=2$\sqrt{5}$，CH=4，AH=2．
如图，延长CP交X轴于点M．
∵∠ACH=∠CPQ，∠AHC=∠CQP=90°，
∴△ACH∽△CPQ，
∴∠CAH=∠PCQ，
∴AM=CM．
∴AM²=CM²．
设M（m，0），则（m+3）²=4²+（m+1）²，
∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则 $\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CM的解析式y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$．联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）．
∴CP=$\sqrt{（-1-\frac{1}{3}）^{2}+（4-\frac{20}{9}）^{2}}$=$\frac{20}{9}$．
故选：D．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标，难点在于作辅助线构造出相似三角形并求出直线CP上的一个点的坐标．