Question

《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c
（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．
（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：

 

；
（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）²的值．

Answer 1

分析：（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；
（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；
（3）利用（1）的结论进行解答．

解答：解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c²，也可表示为（b-a）²+4×

1

2

ab
∴（b-a）²+4×

1

2

ab=c² 
化简得b²-2ab+b²+2ab=c²
∴当∠C=90°时，a²+b²=c²；

（2）（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²
故填：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²


（3）依题意得

a2+b2=c2=13 (b-a)2=1

则2ab=12
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=13+12=25，即（a+b）²=25．

点评：本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．