Question

13．如图，抛物线y=x²+bx+5与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P．
（1）求抛物线的表达式并写出顶点P的坐标；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD=∠ABP，试求出点D的坐标；
（3）设在直线BC下方的抛物线上有一点Q，若S_△BCQ=15，试求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接把B点坐标代入y=x²+bx+5中求出b的值即可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到P点坐标；
（2）直线BD交y轴于点E，作PH⊥x轴于点H，如图，先确定B（5，0），再通过证明△OBE∽△HBP，利用相似比计算出OE=10，则E（0，10），于是利用待定系数法可确定直线BE的解析式为y=-2x+10，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+5}\\{y=-2x+10}\end{array}\right.$得点D的坐标；
（3）过点Q作y轴的平行线交BC于点P，如图，先确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+5，设Q（t，t²-6t+5）（0＜t＜5），则P（t，-t+5），则可表示出PQ=-t²+5t，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•5•（-t²+5t）=15，然后解方程求出t即可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）把B（5，0）代入y=x²+bx+5得25+5b+5=0，解得b=-6，
∴抛物线解析式为y=x²-6x+5，
∵y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴顶点P的坐标为（3，-4）；
（2）直线BD交y轴于点E，作PH⊥x轴于点H，如图，
当y=0时，x²-6x+5=0，解得x₁=1，x₂=5，则B（5，0），
∵P（3，-4），
∴PH=4，OH=3，
∴BH=5-3=2，
∵∠ABD=∠ABP，
∴△OBE∽△HBP，
∴$\frac{OE}{PH}$=$\frac{OB}{BH}$，即$\frac{OE}{4}$=$\frac{5}{2}$，解得OE=10，
∴E（0，10），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
把E（0，10），B（5，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=10}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=-2x+10，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+5}\\{y=-2x+10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（-1，12）；
（3）过点Q作y轴的平行线交BC于点P，如图，
当x=0时，y=x²-6x+5=5，则C（0，5），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（5，0），C（0，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=0}\\{n=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
设Q（t，t²-6t+5）（0＜t＜5），则P（t，-t+5），
∴PQ=-t+5-（t²-6t+5）=-t²+5t，
∴△BCQ的面积=$\frac{1}{2}$•5•PQ，
即$\frac{1}{2}$•5•（-t²+5t）=15，解得t₁=2，t₂=3，
∴点Q的坐标为（2，-3）或（3，-4）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；能应用相似比计算线段的长；理解坐标与图形的性质．