Question

10．如图，在平面直角坐标系中．已知点A（0，1+$\sqrt{3}$）和B（1+$\sqrt{3}$，0），点P在线段AB上，∠BOP=30°．
（1）画出△POB绕点O逆时针旋转90°后的图形；
（2）求旋转变换后点P的对应点P的坐标；
（3）求旋转过程中线段OP扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）由OA=OB，则△POB绕点O逆时针旋转90°后B点的对应点为A，再利用P′O=PO，且∠POP′=90°可画出P′点，则△P′OA为所求；
（2）作PH⊥x轴于H，P′H′⊥y轴于H′，先判断△OAB为等腰直角三角形得到∠OBA=45°，设PH=a，则NH=a，在Rt△POH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=$\sqrt{3}$PH=$\sqrt{3}$a，$\sqrt{3}$a+a=1+$\sqrt{3}$，解得a=1，所以OH=$\sqrt{3}$，PH=1，然后根据旋转的性质得P′H=PH=1，OH′=OH=$\sqrt{3}$，所以P′的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）；
（3）先计算出OP=2PH=2，然后根据扇形面积公式求解．

解答 解：（1）如图，△P′OA为所作；
（2）作PH⊥x轴于H，P′H′⊥y轴于H′，
∵A（0，1+$\sqrt{3}$）和B（1+$\sqrt{3}$，0），
∴OA=OB=1+$\sqrt{3}$，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
设PH=a，则NH=a，
在Rt△POH中，∵∠HOP=30°，
∴OH=$\sqrt{3}$PH=$\sqrt{3}$a，
∴$\sqrt{3}$a+a=1+$\sqrt{3}$，解得a=1，
∴OH=$\sqrt{3}$，PH=1，
∵△POB绕点O逆时针旋转90°得到△P′OA，
∴P′H=PH=1，OH′=OH=$\sqrt{3}$，
∴旋转变换后点P的对应点P′的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）；
（3）OP=2PH=2，
旋转过程中线段OP扫过的面积=$\frac{90π•{2}^{2}}{360}$=π．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．