Question

15．已知二次函数y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9．
（1）确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x=2使，函数有最大值，是9．
（3）当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）求出该函数图象与x轴的交点坐标；
（5）该函数图象经过怎样的平移或旋转可以得到二次函数y=$\frac{1}{3}$x²的图象？

Answer 1

分析 根据y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9可知函数图象开口方向、对称轴、顶点坐标、函数有最大值、在对称轴左侧和右侧函数图象的上升或者下降，从而可以解答（1）（2）（3）；
令y=0代入函数解析式可得与x轴的交点坐标，从而可以解答问题（4）；
根据上加下减，左加右减对函数图象进行平移，再旋转180°即可得到所要求的函数图象，从而可以解答（5）．

解答 解：（1）∵二次函数y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9，$-\frac{1}{3}＜0$，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，9）．
（2）∵二次函数y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9，
∴该函数开口向下，当x=2时，有最大值y=9．
故答案为：2，大，9．
（3））∵二次函数y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9，
∴该函数开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大；x＞2时，y随x的增大而减小．
故答案为：＜2，＞2．
（4））∵二次函数y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9，
令y=0，则0=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9，
解得，${x}_{1}=2+3\sqrt{3}，{x}_{2}=2-3\sqrt{3}$．
∴该函数图象与x轴的交点坐标为：（$2+3\sqrt{3}，0$），（$2-3\sqrt{3}，0$）．
（5）函数y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+9向下平移9个单位长度得到y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²，再向左平移2个单位长度得到y=-$\frac{1}{3}$x²，然后再旋转180°得到$y=\frac{1}{3}{x}^{2}$．

点评 本题考查二次函数的性质与x轴的交点坐标问题、二次函数图象的平移与旋转，解题的关键是明确二次函数的性质，根据实际的二次函数的解析式可以得出相应的结论．