Question

已知：AB是半圆O 的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。

（1）求证：CD是半圆O的切线(图①)； （2）作EF⊥AB于点F(图②)，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明； （3）在上述条件下，过点E作CB的平行线CD于点N，当NA与半圆O相切时(图③)，求∠EOC的正切值。

Answer 1

（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径                ∵OC为半圆M的直径               ∴∠CDO=90°              ∴CD是半圆O的切线； （2） 猜想：。     如图，连结OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG//OD。      ∵CE平分∠DCB ∴∠OCE=∠KCE        ∵EF⊥AB     ∴EG=EF          ∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点         ∴∠CEO=∠CEK=90°           ∵CE为公共边           ∴△COE≌△CKE         ∴OE=KE     ∵EG//OD        ∴DG=GK  ∴ ； （3）如图3，延长OE交CD于点K       设OF=x，EF=y，则OA=2y       ∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A      ∴四边形AFEN是矩形       ∴      同（2），得E是OK的中点       ∴N是CK的中点                ∴Rt△CEF∽Rt△EOF      ∴ 即      解得        ∴tan∠EOC=3

图1             图2               图3