题目内容

15．我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
（1）两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x-1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x-3），请你求出原来的多项式并将原式分解因式．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边且满足a2c2-b2c2=a4-b4．判断△ABC的形状．

分析 （1）由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将3（x-1）（x+2）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将3（x+2）（x-3）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案；
（2）把已知中的式子a4-b4=a2c2-b2c2，移项右边变化成0，左边分解因式即可进行判断．

解答 解：（1）设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵3（x-1）（x+2）=3（x2+x-2）=3x2+3x-6，
∴a=3，c=-6；
又∵3（x+2）（x-3）=3（x2-x-6）=3x2-3x-18，
∴b=-3．
∴原多项式为3x2-3x-6，将它分解因式，得
3x2-3x-6=3（x2-x-2）=3（x-2）（x+1）．
（2）∵a4-b4=a2c2-b2c2
∴a4-b4-a2c2+b2c2=0
即：（a2+b2-c2）（a2-b2）=0
则a2+b2-c2=0或a2-b2=0
可得a2+b2=c2或a=b．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形

点评 本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．

练习册系列答案
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5．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即GAF=∠EAF．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．

变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系相等；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足$∠EAF=\frac{1}{2}∠DAB$，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：∠B+∠D=180°．
6．（1）2$\sqrt{5}$+3$\sqrt{2}$-7$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$
（2）（$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{6}$）
3．计算题
（1）（-1）2015+${（-\frac{1}{2}）}^{-2}$-（3.14-π）0    
（2）（-$\frac{5}{3}$ab3c）-$\frac{3}{10}$a3bc-（-8abc）2
（3）x（x+2）-（x+1）2+2x           
（4）（a-b+c）（a+b-c）（用乘法公式）
10．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞m}\end{array}\right.$的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2B．m≥2C．m＜2D．m≤2
20．已知am=4，an=8，则a2m-n=2．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AC=$\sqrt{3}$．
4．计算（-2a2）3的结果是（　　）
A．2a4B．-2a4C．8a6D．-8a6
5．某学校积极开展阳光体育活动，组织了八年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对八年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）求出八年级（1）班学生人数；
（2）补全两个统计图；
（3）求出扇形统计图中3次的圆心角的度数．

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