Question

9．如图，AC⊥BD于点C，F是AB上一点，FD交AC于点E，∠B与∠D互余．
（1）试说明：∠A=∠D；
（2）若AE=1，AC=CD=2.5，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠A+∠B=90°，∠D+∠B=90°即可解决问题；
（2）只要证明△ACB≌△DCF（ASA），即可推出BC=CE=1.5，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠A+∠B=90°，∠ACB=90°=∠DCE，
∵∠B+∠D=90°，
∴∠A=∠D．

（2）∵AE=1，AC=2.5，
∴EC=AC-AE=1.5，
∵∠B+∠D=90°，
∴∠BFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△ACB和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AC=DC}\\{∠ACB=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DCF（ASA），
∴BC=CE=1.5，
∴BD=BC+CD=4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．