Question

2．如图①，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边BC的中点，射线DE⊥BC交AB于点E．点P从点D出发，沿射线DE以每秒1个单位长度的速度运动．以PD为斜边，在射线DE的右侧作等腰直角△DPQ．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示线段EP的长．
（2）求点Q落在边AC上时t的值．
（3）当点Q在△ABC内部时，设△PDQ和△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行讨论：点P在线段DE上，点P在DE的延长线上，根据线段的和差关系进行计算；
（2）当点Q落在边AC上时，过点Q作QF⊥DP于F，根据四边形CDFQ是矩形，△DPQ是等腰直角三角形，求得DP=2FQ=8，即可得到t的值；
（3）分两种情况进行讨论：①当点P在线段DE上时，△PDQ和△ABC重叠部分为△DPQ，②当点P在线段DE的延长线上时，△PDQ和△ABC重叠部分为四边形EDQG，分别求得S与t之间的函数关系式．

解答 解：（1）由题可得，DP=t，DE=$\frac{1}{2}$AC=3，
当点P在线段DE上时，EP=DE-DP=3-t；
当点P在DE的延长线上时，EP=DP-DE=t-3；

（2）如图所示，当点Q落在边AC上时，过点Q作QF⊥DP于F，

∵∠C=∠CDF=∠DFQ=90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴FQ=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵△DPQ是等腰直角三角形，
∴DP=2FQ=8，
∴t=$\frac{8}{1}$=8（s）；

（3）①当点P在线段DE上时，△PDQ和△ABC重叠部分为△DPQ，且DP=t，DP边上的高为$\frac{1}{2}$t，

∵点P从点D运动到点E处时，时间为3s，
∴当0＜t≤3时，S=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{4}{t}^{2}$，
②当点P在线段DE的延长线上时，△PDQ和△ABC重叠部分为四边形EDQG，
如图所示，过G作GF⊥PE于F，则△GFE∽△BCA，且PF=GF，

∵AC=6，BC=8，
∴EF：FG=3：4，EF：FP=3：4，
∵PE=t-3，
∴FG=$\frac{4}{7}$（t-3），
∴△PEG的面积=$\frac{1}{2}$×PE×FG=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{7}$（t-3）²，
由（2）可知，点Q落在边AC上时，t的值为8s，
∴当3≤t≤8时，S=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{7}$（t-3）²=-$\frac{1}{28}$t²+$\frac{12}{7}$t-$\frac{18}{7}$．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-\frac{1}{28}{t}^{2}+\frac{12}{7}t-\frac{18}{7}（3≤t≤8）}\end{array}\right.$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类讨论思想的运用．